Kakuro en probleemoplossen

Terug naar het project Rekenen en Redeneren  

 

Kakuro: rekenen & redeneren

Kakuro en probleemoplossen 1

Na Sudoku met circa 81.000.000 zoekresultaten op Google (08-07-12), is Kakuro met circa 2.210.000 zoekresultaten (08-07-12) de tweede geweldenaar aan het puzzelfront, natuurlijk wel eerbiedig op afstand van Sudoku. Voor het onderwijs komt Kakuro echter op de eerste plaats. Dat heeft te maken met de combinatie rekenen & redeneren die nodig is om kakuropuzzels op te lossen. Daardoor worden de leerlingen niet alleen (stilzwijgend) gestimuleerd tot redeneren maar worden ook basisvaardigheden rekenen (ongemerkt) meegenomen.

Bij die basisvaardigheden gaat het vooral om getalrelaties in het getalgebied tot 50. Heel speciaal bij Kakuro is dat leerlingen met allerlei splitsingen van getallen te maken krijgen waardoor hun netwerk van getalrelaties hechter wordt en flexibeler kan worden ingezet. De tabel hiernaast laat daar wat van zien en is op te roepen via kakurospelen (spelregels).

Om nog meer zicht te krijgen op de educatieve waarde van Kakuro, kan men niet beter doen dan via kakurospelen het spelprogramma ‘Kakuro Cross Sums’ aanroepen. Voor degene die niet of nauwelijks bekend is met Kakuro, biedt dat programma meteen een goede introductie.

Kakuro: redeneren en probleemoplossen

Hoe het oplossen van puzzels en speciaal kakuropuzzels verloopt, is eigenlijk verplichte kost voor iedereen die zich bezig houdt met de kunst van leren via probleemoplossen. Over leren via puzzels is bij Speleon echter nog geen hard onderzoek bekend. Wel zijn voor het oplossen van Kakuropuzzels her en der een aantal oplosmanieren (solving techniques) beschreven die handig zijn om je eigen te maken. Zie bijvoorbeeld www.kakuro.com. In het volgende wordt een poging gewaagd om wat meer greep te krijgen op het oplossen van kakuropuzzels en op de bijbehorende leeropbrengsten.

Het artikel Zweeds getallenraadsel uit 2001 van Pauline Vos gaat over een puzzel met die naam. Nu, anno 2012 herkennen we daar een kakuro in. Pauline Vos koppelt in het artikel op een speelse manier formele wiskunde aan concreet puzzelwerk. En passant legt zij uit hoe een Zweeds getallenraadsel in elkaar zit en wat de spelregels zijn. Dit artikel wordt van harte aanbevolen. Aanbevolen wordt ook om het lezen van de volgende tekst af te wisselen met oplossen van de kakuro’s ernaast. Via de puzzels kan doorgelinkt worden naar het oplossingsproces dat erachter zit.

Kakuro en probleemoplossen 2Kakuro’s of Zweedse getallenraadsels zijn voorbeelden van problemen waarbij redeneren en rekenen leiden tot de oplossing. Het helpt als de puzzelaar beschikt over bepaalde feitenkennis, bijvoorbeeld dat 17 alleen maar te splitsen is in 8 en 9 als het gaat om een combinatie van twee hele getallen kleiner dan 10 en dat zoiets ook  geldt voor de splitsing van 15 in vijf hele getallen. En het helpt nog meer als principes van ‘problem solving’ over het redeneren en rekenen worden gelegd. Daarover valt te lezen in Pólya (1990, blz. xxxvı, xxxvıı, 113)1, Goffree (1992, blz. 190)2 en Averbach en Chein (2000, blz. 11 t/m 13)3. Aan de basis van hun ideeën ligt het begrip ‘heuristic reasoning’, zoals dat door Pólya als volgt wordt omschreven:
Heuristic reasoning is reasoning not regarded as final and strict but as provisional and plausible only, whose purpose is to discover the solution of the present problem. We are often obliged to use heuristic reasoning. We shall attain complete certainty when we shall have obtained the complete solution, but before obtaining certainty we must often be satisfied with a more or less plausible guess. We may need the provisional before we attain the final. We need heuristic reasoning when we construct a strict proof as we need scaffolding when we erect a building.” (Pólya, blz. 113).

Kakuro en probleemoplossen 3Heuristieken of zoekregels worden meestal besproken in vergelijking met algoritmen (vaste aanpakken). Bij rekenen-wiskunde wordt ernaar gestreefd om het repertoire aan vaste aanpakken flexibel te kunnen inzetten. Daarmee krijgt dat repertoire heuristische trekjes en krijgt het maken van (context)opgaven iets van de spanning van probleemoplossen.
‘Oriëntatie op het probleem’ staat heuristisch gezien op nummer 1. Voor kakuropuzzels betekent dat: overzie de puzzel en probeer voor de hand liggende ingangen en veelbelovende splitssituaties te ontdekken.
De volgende stap is dan om via rekenen terrein te veroveren en de nieuwe situatie weer te overzien. Cruciaal bij een heuristische benadering is het moment dat je vast komt te zitten. Aan de ene kant verhoogt dat de lol, aan de ander kant misschien de frustratie. Voor deze fase hebben de problem-solving-auteurs zo hun eigen adviezen tot en met de raad om het probleem even te laten voor wat het is.

Kakuro en probleemoplossen 4Het advies van Spelenderwijs is om al puzzelend met problemen die opklimmen in moeilijkheidsgraad een netwerk op te bouwen van oplosmanieren (solving techniques) en handige feitenkennis. Dat laatste is al kort ter sprake gekomen. Er gaan waarschijnlijk wel wat puzzels doorheen voordat is ingeslepen dat 23 slechts op één manier te splitsen is in drie getallen en 34 in vijf getallen. En nog een stap verder: bij 39 verdelen in zes getallen uit de verzameling 1 t/m 9, is het handig om je te realiseren dat daarbij de getallen 1, 2 en 3 ontbreken.

Problem 3 (page 234):
“Bob has 10 pockets and 44 silver dollars. He wants to put his dollars into his pockets so distributed that each pocket contains a different number of dollars. Can he do so?

Dat feitenkennis, opgedaan bij het oplossen van Kakuropuzzels ook voor andere problemen handig kan zijn, wordt geïllustreerd met een voorbeeld uit de tekst Probleemgericht onderwijs bij rekenen-wiskunde. Daar wordt het probleem gepresenteerd dat hiernaast staat. Een beetje Kakuropuzzelaar weet dat de som van de getallen 1 t/m 9 gelijk is aan 45. Dat is handige kakuro-kennis, bijvoorbeeld als er in de puzzel een som van 39 verdeeld moet worden over zes getallen. En omdat 1 t/m 9 leidt tot 45, kan Bob helaas zijn plan niet uitvoeren. Zelfs als de hulp van 0 wordt ingeroepen lukt het niet.

Tip voor gevorderden: even de adem inhouden

Kakuro en probleemoplossen 5Verschillende puzzelsites geven informatie over bepaalde oplosmanieren.  Een daarvan is www.kakuro.com . De oplosmanier die hoort bij de situatie hiernaast wordt daar getypeerd met ‘cross reference’. Alle mogelijke combinaties van splitsen in drieën met 20 en 6 worden opgevoerd. Daarna wordt geconstateerd dat alleen 3 een gezamenlijk element is.
Pauline Vos zou deze situatie waarschijnlijk benaderen met ‘exclusiveren’, een manier van redeneren waarbij je mogelijkheden uitsluit: op de plaats van de 3 kan niet 2 of 1 staan want 18 en 19 leveren geen toegestane combinatie op van twee getallen.
Dit voorbeeld laat duidelijk zien dat het loont om af en toe de adem even in te houden: “20 splitsen in drieën? Dat leidt tot nogal wat combinaties! Is er niet een eenvoudiger manier? Biedt de combinatie 1, 2 en 3 bij het somgetal 6 misschien mogelijkheden?”. Het zal duidelijk zijn dat ‘even de adem inhouden’ een tip is voor de gevorderde puzzelaar. Het is trouwens een tip die ook in het dagelijks leven van pas komt en daar misschien niet meteen problemen oplost maar ze wel voorkomt.

Formules: van redeneren met woorden naar redeneren zonder woorden.

Bij het oplossen van kakuropuzzels is aandacht voor basisvaardigheden rekenen, voor flexibel inzetten van rekenkennis, voor redeneren en voor probleemoplossen. En er is meer!
Bij symmetrische kakurovormen kunnen de meetkundige eigenschappen van de figuur bij het redeneren worden betrokken. Dat kan leiden tot formules waarmee getallen uit het niets tevoorschijn getoverd worden. Zie daarvoor Op weg naar denken in formules en in tweede instantie Toverformules bij kakuropuzzels. Ook in Som-Som puzzels, meer dan zomaar leuk en in Driehoek Magie, meer dan zomaar leuk komt de overgang van redeneren met woorden naar redeneren zonder woorden aan bod.

 

Kakuro en probleemoplossen 7
Kakuro en probleemoplossen 6

 

Verwijzingen:
1 Pólya, G. (1990). HOW to solve it. London, Penguin Books.
2 Goffree, Fred (1992). Wiskunde & Didactiek 2. Groningen, Wolters-Noordhoff.
3 Averbach, Bonnie & Chein, Orin (2000). Problem solving through recreational mathematics. Mineola, New York, Dover
  Publications.